数学教室のご案内

研究室紹介

注意 以下のメールアドレスの後に tohoku.ac.jp をつけて下さい。

情報基礎数理学 I 分野 (A01)
(A01-1) 代数的グラフ理論、代数的符号理論、組合せデザイン理論
(A01-2) 頂点作用素代数、有限群論、代数的組合せ論
情報基礎数理学 II 分野 (A02)
(A02-1) 幾何学的函数論、リーマン面、タイヒミュラー空間、擬等角写像、複素力学系
(A02-2) 代数的組合せ論、アソシエーションスキーム、距離正則グラフ
情報基礎数理学 III 分野 (A03)
結び目理論、3次元多様体論、量子位相幾何学
情報基礎数理学 IV分野 (A04)
数理生物学、生物数学、数理モデリング、応用確率過程
システム情報数理学 I 分野 (B01)
(B01-1) 符号理論、組合せデザイン理論、代数的組合せ論
(B01-2) リーマン幾何学、スペクトル幾何学、量的幾何学
システム情報数理学 II 分野 (B02)
(B02-1) 古典確率論、量子確率論、無限次元確率解析、複雑ネットワーク、配列の情報解析
(B02-2) シュレディンガー方程式、確率偏微分方程式、数値解析
(B02-3) 量子ウォーク、確率論
システム情報数理学 III 分野 (B03))
偏微分方程式論、解の幾何学的性質、拡散方程式、楕円型及び放物型方程式、逆問題の視点

情報基礎数理学 I 分野 (A01)

宗政先生

宗政 昭弘 (Munemasa, Akihiro)
教授
munemasa@math.is.

島倉先生

島倉 裕樹 (Shimakura, Hiroki)
准教授
shimakura@m.

当分野は、(A01-1) 宗政研究室と (A01-2) 島倉研究室から成り、離散的な手法による数学理論を主として研究し、数学と情報理論の一層の関連を探っています。

(A01-1) 宗政研究室の研究テーマは以下のとおりです。

代数的組合せ論

1970年代、Delsarte によって符号理論とデザイン理論に統一的に線形計画法を応用する枠組みとして発展してきた association scheme の理論は、有限群の作用する空間の一般化として代数的グラフ理論、代数的符号理論、組合せデザイン理論を支える一方、その後独自の発展を遂げています。そこで、association scheme の基礎となっている、グラフの固有値の研究、有限群とその表現論、線形代数学と最適化に関連した代数学を、組合せ論に応用する手法を研究します。

符号理論と格子

符号とは、有限体上の有限次元ベクトル空間の部分空間という極めて単純なものですが、組合せ論の問題を代数的に研究する道具である一方、格子に関連して整数論、特に保型形式の格好の応用対象でもあります。符号の中でも特に面白い性質を持つ自己双対符号は、ユニモジュラ格子を通して球の詰め込み問題にも関連しています。これらの符号や格子の構成と分類を、主に代数的手法を用いて研究します。

(A01-2) 島倉研究室では興味深い有限群を頂点作用素代数、組合せ論などを用いて解析する研究を行っています。 特に、有限単純群の中で散在型と呼ばれる 26 個の群に興味があります。これら群に対しては統一的な理論が無い反面、個々の群に付随する面白い代数構造、有限幾何、組み合わせ構造などがあります。とりわけ、モンスターと呼ばれる散在型有限単純群に興味があります。そこでは様々な不思議な現象が観察されており、その一つであるムーンシャイン現象は頂点作用素代数を用いて証明されました。

主な研究テーマは次の通りです。

頂点作用素代数の自己同型群

モンスター単純群を含め、数多くの興味深い群が頂点作用素代数の自己同型群として実現されています。頂点作用素代数の表現論、内包される代数系、付随する組み合わせ論を用いて、自己同型群の理解を深めます。特にモンスター単純群の理解を深めることが目標です。

符号、格子と頂点作用素代数

頂点作用素代数は元々は数理物理から生まれた概念ですが、古くから研究されている符号や格子と深い関係にあります。例えば、モンスターを自己同型群としてもつムーンシャイン頂点作用素代数の構成法の一つは、散在型有限単純群の一つであるコンウェイ群を自己同型群としてもつリーチ格子のある構成法の類似とみることが可能です。そこで、符号、格子と頂点作用素代数の間の類似の視点から、頂点作用素代数の研究を行います。逆に、頂点作用素代数を含めて考えることで、符号と格子に対する新しい知見を得ることも目指します。

その他

有限群の情報理論への応用の例として置換符号や量子符号などがあります。このような代数学の情報理論への応用に興味があります。また、格子、符号と頂点作用素代数に関連する整数論や代数幾何についても興味があります。

大学院受験生へのメッセージ

宗政研究室・島倉研究室では、上記のような研究に興味を持った学生を大学院新入生として歓迎します。受験する段階では専門用語すべてを知っている必要はありません。上に書かれた専門用語のうち一つでも知っているものがあってそれに興味があれば結構です。どのような研究をするにしろ、また大学院の入学試験に合格するためにも、基礎はしっかり勉強しておく必要があります。まず、理系なら大学1年生で必ずといっていいほど必修である、線形代数学をきちんと勉強しておいてください。単に行列式の計算ができるとか、連立方程式が解けるとかだけではなく、次元、一次独立などの概念を把握し、定理の証明を理解するように努力することが重要です。

参考書は、
(1) 佐武一郎:「線形代数」共立出版
(2) 佐武一郎:「線形代数学」裳華房

で、(1) の内容は100% 理解しておくべきで、(2) の内容は 50% くらいは理解しておけば十分でしょう。また、理学部数学科出身の学生ならば代数学の基本を学ぶ機会があったはずですから、それをきちんと身につけておくことが必要です。

例えば
(3) 松坂和夫:「代数系入門」岩波書店

で勉強すればよいでしょう。一方、理学部数学科出身でない学生は、(3) は自習するには難しいかもしれません。徐々に数学的な考え方に慣れつつ代数学に近づくためには、

(4) Norman Biggs:「Discrete Mathematics」Oxford University Press

で勉強するとよいでしょう。大学院に入学すればいずれ英語の専門書や論文を読むことになりますから、今から英語の本を読む練習をしておくことは将来のためでもあります。どうしても日本語で読みたいという人は、

宗政先生チーフエディター:Journal of Algebraic Combinatorics

例えば
(5) 野崎昭弘:「離散系の数学」近代科学社
で勉強することをお奨めします。

これまでに在学した大学院生の出身大学は多岐にわたっています。学部を卒業した大学とは異なる大学の大学院で勉強することは、自分の世界を広げるチャンスでもあります。また、研究を通して、単なるリテラシーにとどまらない、コンピュータの知識、技術を卒業までに身につけることができ、これまでの学生はそのような技術を生かした職場へ就職しています。

情報基礎数理学 II 分野 (A02)

須川先生

須川 敏幸 (Sugawa, Toshiyuki)
教授
sugawa@math.is.

田中先生

田中 太初 (Tanaka, Hajime)
准教授
htanaka@

本分野は、 (A02-1) 須川研究室と (A02-2) 田中研究室から成り、それぞれ複素解析学と代数的組合せ論を研究しています。

(A02-1) 須川研究室では複素1変数函数論を中心に、リーマン面、タイヒミュラー空間、クライン群、擬等角写像、Loewner方程式、複素力学系・フラクタルなどの周辺分野を研究していますが、特に以下の対象に興味を持っています。

幾何学的函数論

解析函数(特に等角写像)の性質を幾何的に研究したり、逆に解析函数の持つ深い性質を利用してリーマン面の幾何学を研究したりしています。等角写像は流体力学や電磁気学などにも応用を持っています。

擬等角写像

リーマン面の複素構造の変形を考える際に今や必要不可欠となった概念です。特に解析函数が全平面の擬等角写像に拡張できるための条件や、退化ベルトラミ方程式についても研究を行っています。退化ベルトラミ方程式は超音速での気体の流れの解析に応用があります。また、擬等角写像は最近の脳科学にも応用されつつあります。

複素解析学全般

楕円函数・特殊函数を含む古典理論から、複素力学系、微分従属式、タイヒミュラー理論、シュワルツ微分などをキーワードとする現代理論まで広くカバーしています。

リーマンゼータ函数の表現例
[リーマンゼータ函数の表現例:高さは絶対値、色相は偏角を表す。]

大学院受験生へのメッセージ

複素解析学をさらに深く勉強したい人は言うに及ばず、コンピュータ実験によって何か面白い数学的現象を観察したい人、新しい公式を発見したい人、とにかく計算が好きな人など、個性的な学生を歓迎します。また、社会人・留学生も積極的に受け入れます。


(A02-2) 田中研究室では、様々な組合せ的対象を、主に代数的手法を用いて研究します。

有限群上の調和解析, association schemes

有限群の等質空間、特に Gelfand 対のランダムウォーク等への応用は既に確立された分野となっていますが、そこでは付随する Hecke 環の球函数を調べる事が本質的です。球函数は、数論や直交多項式の理論等の観点からも活発に研究されてきました。有限群の等質空間の研究を進める上では、実際「群の対称性」を「組合せ的正則性」に置き換えた、より広い視点からアプローチを行うことがしばしば重要です。この立場から、有限群の等質空間の組合せ的一般化である association schemes を考察します。元々 association schemes は実験計画法に於ける概念ですが、Hecke 環に相当する Bose-Mesner 代数と呼ばれる可換半単純$\mathbb{C}$-代数が付随します。有限群の等質空間や association schemes を、付随する代数の表現・指標を通して解析し、さらにその応用を探ることは、依然として重要かつ興味深いテーマです。

距離正則グラフ, 代数的/スペクトルグラフ理論

有限単純グラフの中でも特に正則性が高いものとして、距離正則グラフがあります。距離正則グラフは特殊な association schemes とみることもでき、2点等質空間に相当します。それ自身大変興味深く豊かな研究対象である一方で、ランダムウォークや組合せ最適化等を始めとするグラフ理論の応用に於ける、モデルケース或いはテストケースとしても重要な役割を果たします。本研究室では上述の Bose-Mesner 代数に加えて、1990年代に導入された Terwilliger 代数と呼ばれる非可換半単純$\mathbb{C}$-代数の表現論の立場から距離正則グラフの研究を行います。また、代数的グラフ理論・スペクトルグラフ理論等の関係したトピックも幅広くカバーします。

関連した組合せ論

符号やデザイン等を含む種々の組合せ的対象は、適当な association schemes や距離正則グラフの頂点集合の部分集合とみなすことができます。Delsarte は1973年の学位論文で、Bose-Mesner 代数の表現論と線形計画法を駆使することにより、これらの組合せ的対象を解析する一般的かつ非常に強力な手法を確立しました。Delsarte の理論は現在でも代数的組合せ論に於いて中心的な役割を果たしていますが、最近では Terwilliger 代数及び半正定値計画法を用いてこの理論を真に拡張する試みも行われ始めています。実際 association schemes は、今述べた例以外にも組合せ論内外の実に多様な諸分野と関連しており、その「応用」理論は今後もさらに発展を続けていくことが期待されます。

Hamming グラフ $H(4,4)$ の距離行列
[Hamming グラフ $H(4,4)$ の距離行列:色相は Hamming 距離を表す。]

大学院受験生へのメッセージ

上で述べたトピックについてはなじみのない方が多いと思いますので、いくつか参考文献を挙げます:

  • A. Terras, Fourier analysis on finite groups and applications, Cambridge University Press, 1999.
  • T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli, Harmonic analysis on finite groups, Cambridge University Press, 2008.
  • R. A. Bailey, Association schemes: Designed experiments, algebra and combinatorics, Cambridge University Press, 2004.
  • A. E. Brouwer, W. H. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2012.
  • C. Godsil, K. Meagher, Erdős–Ko–Rado theorems: Algebraic approaches, Cambridge University Press, 2015.
  • 坂内 英一, 坂内 悦子, 伊藤 達郎, 代数的組合せ論入門, 共立出版, 2016.

これらのトピックに興味を持たれた方、或いはより一般に「代数学と組合せ論」に関心のある方、どうぞお気軽にメールでお問い合わせ下さい。

情報基礎数理学 III 分野 (A03)

村上先生

村上 斉 (Murakami, Hitoshi)
教授
hitoshi@m.

本研究室では、低次元位相幾何学を研究しています。低次元位相幾何学は、位相幾何学の一分野で、主に結び目や2、3、4次元多様体を対象としています。

結び目理論

結び目とは、3次元球面(あるいは、3次元ユークリッド空間)内にある円周のことです。3次元空間の中にある円周は次の図で示されたように一般に複雑にもつれています。

写真:結び目

左端の結び目はほどけていて、他の3つはほどけていないことがわかりますが、これを数学的に厳密に示すことは簡単ではありません(「ほどけている」ということの定義もする必要があります)。また、右端の青い結び目を「連続的に変形」すると、左から2番目の赤い結び目と一致し、また、黒、赤、緑の結び目は互いに異なる結び目であることもわかります。

こういった、図で示せば簡単に思えることを、数学的に議論するのが結び目理論です。

3次元多様体論

局所的に3次元ユークリッド空間と同じような図形を3次元多様体と言います。つまり、3次元多様体とは3次元ユークリッド空間を貼り合わせて構成されるものです。次のようにして、絡み目(3次元球面内にある複数個の結び目)から3次元多様体を作ることができます。まず、3次元球面から絡み目(とその近傍)を取り除き、境界のある3次元多様体を作ります。その境界は輪環面(トーラス)ですから、輪環体(中身の詰まったトーラス)を貼り付けることができます。こうしてできたものは閉3次元多様体です。絡み目や、輪環体の貼り付け方を様々に変えることで、任意の3次元多様体を得ることができます。

私は、特に結び目理論の立場から3次元多様体の研究を行なっています。

量子位相幾何学

上で説明した結び目理論や3次元多様体論は、位相幾何学の一分野ですから、もちろん位相幾何学的な手法を用いて研究ができます。ここでいう量子位相幾何学(quantum topology)は、1984年に発見された Jones 多項式から始まるものです。一般に Lie 環とその表現が与えられると結び目の量子不変量を定義することができます(Jones 多項式は $sl(2;\mathbb{C})$ とその2次元表現に対応しています)。また、Lie 環に付随した3次元多様体の量子不変量も同様に構成できます。

量子不変量やそれから派生した有限型不変量や圏化、および体積予想(量子不変量と体積などの幾何的不変量を結び付けようという予想)を研究するのが、(私の理解する)量子位相幾何学です。

大学院受験生へのメッセージ

結び目理論や3次元多様体論に興味を持った人のために、次の本をお勧めします。

  • W.B.R. Lickorish: An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, 175, Springer-Verlag, New York, 1997.
  • Dale Rolfsen: Knots and links, Corrected reprint of the 1976 original, Mathematics Lecture Series, 7, Publish or Perish, Inc., Houston, TX, 1990.
  • Peter R. Cromwell: Knots and links, Cambridge University Press, 2004.
  • C.C. Adams: The Knot Book, W.H. Freeman and Company, New York, 1994.

写真:結び目

$\lim_{N\to\infty}\dfrac{\log|J_N(K;\exp(2\pi\sqrt{-1}/N))|}{N}=\dfrac{\operatorname{Vol}(S^3\setminus{K})}{2\pi}$
[体積予想 ($K$ は結び目、$J_N$ は色付き Jones 多項式)]

情報基礎数理学 IV 分野 (A04)

瀬野先生

瀬野 裕美 (Seno, Hiromi)
教授
seno@math.is.

本研究室では、生命現象や社会現象に関する理論的問題に関する数理モデルの構築とその解析結果による考察、および、モデリングの数理構造の理論を研究の主眼としています。

数理生物学

数理生物学は、学際分野であり、その研究のスペクトルは、数理科学から生命科学にわたる広い裾野をもちつつ発展してきました。この分野における数学的解析は数学や物理学といった数理科学の基礎理論に基づいた応用といえますが、その発展に伴って、様々な生命現象に対する数理・理論的アプローチの応用性はますます広がりつつあるといえます。しばしば、実際の野外観察・観測あるいは実験が不可能であるような対象であっても、理論的な数理モデリングによる(思考実験的)研究が可能であり、その結果が、実際的な野外観察・観測や実験の指針として役立つ可能性もあります。また、理論生物学的な問題を数理モデル解析によって議論することは、生物学的理論の体系化に役立つばかりでなく、生命現象の新しい研究を生み出す可能性をも秘めています。カオス理論のように、数理生物学的な数理モデル研究が、数学や物理学の理論的研究の発展に寄与してきた例も少なくありません。

本研究室では、現実の生命現象や社会現象の特性を科学的に議論するための問題点を明らかにしたり、問題提起を行ったり、あるいは、研究の展開の礎となるような、数理的・理論的な生命現象・社会現象の研究のための数理モデル解析を行うことを目指しています。対象とする現象に関する問題に関して主要と考えられる要因を選択的に抽出し、可能な限り単純な構造をもつ数理モデリングによって、科学的な(定性的)議論を行うための数理モデル解析、あるいは、より具体的な問題に関する数理モデリングに発展させることのできるような基礎数理モデル解析、または、理論の体系化に関わるような数理モデル解析に取り組んでいます。

生命現象・社会現象の数理モデリング

瀬野 裕美 著: 数理生物学, 共立出版

本研究室の研究においては、対象とする現象の如何なる理論的課題を取り上げるか、その問題を如何に数理モデルとして構成するか、その問題を考察するために構成された数理モデルに関して如何なる数理的解析を行なうか、数理的解析によって得られた結果を如何に生命科学的・社会科学的議論として取り上げるか、ということが重要な観点となります。とりわけ、現象の本質を捉える、できる限りシンプルな数理モデルの構築とその解析によってどこまでの議論が可能か、という視点で、数理モデルの数理的構造における合理性(現象に対する仮定と数理的構造の間の論理的整合性;数理モデリングの適切性)に関わる研究テーマに取り組んでいます。

数理モデリングとは、一言で述べるなら、現象に関する仮定や仮説を数理的に解釈もしくは表現することによって数理モデルを構築する過程を指します。 生命現象や社会現象に関する仮定や仮説の適切性評価や意味解釈をするためには、生命科学的・社会科学的な知識とセンスが要求されます。一方、数理的な解釈や表現には、数理的な知識とセンスが要求されます。すなわち、数理モデリングは、生命科学的・社会科学的知識だけ、あるいは、数理的知識だけでは不可能であり、それらの二つが相まって成立する過程です。 しかし、生命科学的・社会科学的知識と数理的知識がそれぞれ揃ったとしても、必ずしも、適切な数理モデルを構成することはできません。 これは、生命科学的・社会科学的知識と数理的知識を、数理モデルの構成という目的の下に適切に統合する独特な過程が必要だからです。

数理モデル解析

ミクロからマクロまで広いスケールの生命現象や社会現象に視野を拡げて研究課題として取り組んでいます。たとえば、数理モデリング、数理モデル解析による次のような数理生物学的研究課題に取り組んできました。

  • 生物個体群ダイナミクスの離散時間モデリング論
  • 個体の振る舞いを反映する生物個体群ダイナミクス
  • 人間の介入による生態系制御
  • 分断された環境条件、時間的に不連続な生態学的摂動の生物個体群に対する影響
  • 生物個体群の群れ形成・群れ構造
  • 生物群集の多様性
  • 生物生態における適応戦略論
  • フラクタル理論を応用した生物現象の数理モデリング

個々の研究において、構成し、解析してきた数理モデルは、確率過程、差分方程式系、微分方程式系などを応用した、いずれも基礎的なものであり、必ずしも直接にデータ解析に利用することを目的としたものではありませんが、質的な議論を通して科学的な論点を明らかにするとともに、より発展的な数理的研究、現象分析により応用的な数理モデルの構成における基盤を提供することを目標としています。

大学院受験生へのメッセージ

本研究室では、生命科学的・社会科学的知識と数理的知識を、数理モデルの構成という目的の下に適切に統合するという独特な過程に重心があり、学んでゆく内容も、生命科学・社会科学や数学の知識そのままを学ぶだけではなく、生命科学的・社会科学的知識・センスや数理的知識・ センスを数理モデリングという観点から捉えるという点がかなり特徴的です。それは、数学とも生命科学・社会科学とも関わる、まさに学際的、応用数理的な観点です。生命現象や社会現象に関わる研究においても、応用数理的、数理生物学的研究が意義をもつ分野、テーマはどんどんと開拓されており、このような数理モデリングの感性を持つ研究者の育成を目指すことは、科学発展にとって十分に実りあるものと考えています。より詳しくは、ウェッブページをご覧ください。

システム情報数理学 I 分野 (B01)

原田先生

原田 昌晃 (Harada, Masaaki)
教授
mharada@m.

船野先生

船野 敬 (Funano, Kei)
准教授
kfunano@

高橋先生

高橋 淳也 (Takahashi, Junya)
助教
t-junya@math.is.

(B01-1) 原田研究室では、主に符号理論、組合せデザイン理論やこれらに関係する組合せ構造やそれらの応用について研究しています。

符号理論

Hall メダル

符号理論は、誤りが発生する通信路において、いかに効率よくかつ信頼性が高い情報伝達を行うことが出来るかを研究する分野で、数学、情報科学、実用化技術とし、色々な立場からの研究が広く行なわれています。代数的符号理論において、特に、通信路の(ある種の)数理モデルにおいて符号化の部分を組合せ構造としてとらえて研究を行なうことが本研究室の特徴と言えます。一言で説明すると、主に、有限体上の線形空間において色々な意味での“良い”部分空間の構造の研究を、代数的および組合せ論的な手法にて行っています。しばしば計算機による計算も重要な役割を果たします。主な研究対象である自己双対符号は、代数的な研究が古くから行なわれている符号のクラスであり、組合せ論、整数論、有限群論などと深く関係しながら発展をしています。

組合せデザイン理論

Computational and Applied Mathematics

符号が情報通信を起源にもつ組合せ構造であったように、様々な分野において組合せ論や離散数学は色々な形でその有用性を提示してきていると思われます。組合せデザインもその一つであり、実験計画を起源にもつ組合せ構造です。組合せデザインの研究での基本的な問題を一言で説明すると、全体をよく近似する“良い”部分集合を見つけることであり、本研究室では、良い組合せデザインの構成や符号など他の組合せ構造との関連を意識した組合せデザインの研究を代数的および組合せ論的手法で広く行っています。組合せデザインの研究においても、理論の構築とともに計算機による計算もしばしば重要な役割を果たします。

符号や組合せデザインに限らず組合せ構造の応用についても取り扱う予定です。

大学院受験生へのメッセージ

原田研究室は、2013 年 10 月に発足した新しい研究室です。符号理論、組合せデザイン理論、およびそれらの応用に興味ある学生を歓迎します。求める予備知識は、線形代数、そして代数学の基礎です。積極的に勉強する意欲がある学生を望みます。ご質問などありましたら、どうぞお気軽にメールでお問い合わせ下さい。


(B01-2) 船野研究室では、リーマン幾何学、スペクトル幾何学、バナッハ空間・距離空間の幾何学などの周辺分野を研究しています。

比較幾何学

リーマン幾何学には空間の曲がり具合を表す概念である断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率があります。これらの曲率の下限の条件を課すことは、考えている空間をわかりやすい空間とある意味で比較することに対応することが知られています。比較幾何学ではこれらの比較を用いて考えている空間の幾何学的性質を調べます。バナッハ空間論ではタイプ・コタイプといった上の比較とは別のユークリッド空間との比較があります。近年これらの比較の概念は距離空間へと拡張され、ワイルドな空間の取り扱いが可能となってきました。近年凸幾何学における種々の方法がリッチ曲率が下に有界なリーマン多様体に拡張されてきており、凸幾何学とリッチ曲率の比較幾何学が密接に関係していることが示され始めてきました。今後の発展が期待される分野です。

ラプラシアンの固有値・固有関数の研究

ラプラシアンは最も基本的な二階楕円型偏微分作用素であり、偏微分方程式だけではなく幾何学でも様々な場面で現れます。熱方程式、波動方程式、シュレディンガー方程式などの解はラプラシアンの固有値並びに固有関数を用いて表されることが知られており、これら方程式の解の構造を理解するのにラプラシアンの固有値・固有関数の研究は大切になります。また曲率・体積・閉測地線の分布・等周問題などなど幾何学的量とも関係しています。離散的な取扱いにおいては、効率の良い経済的なネットワークの構成、クラスタリングの研究などの応用分野とも関係しています。近年では最適輸送理論や代数的位相幾何学などといった一見関係のないような分野の道具を駆使して研究を行っており新たな発展を目指しています。多様体を曲面のファミリーで掃き出し面積のミニマックスを考えると幅と呼ばれる幾何学的な量が現れますがこのような他のミニマックス理論の研究にも興味を持っています。

大学院受験生へのメッセージ

船野研究室では基本的に何を研究しても自由です、私のやってきた研究に沿う必要はなく自発的に色々なことに興味を持って勉強したり研究会やセミナーで話を聞いたりして自分の道を模索してみてください、迷った場合は遠慮せずに気軽に相談してください。幾何学といっても現在は幾何学のみで研究するのは難しく、解析学、確率論などの幾何学以外の分野も同時に勉強することになるかと思います。これら幅広い分野を効率よく勉強するには(優秀な)他人の話を聞いたり、相談・質問したりしてお互い協力し高め合うことが大切となります。遠慮せずにどんどん(数学の)相談・質問をしましょう!また私の研究室を選びたい場合は受験前になるべく早く私に(メールで)コンタクトをお願いします。

システム情報数理学 II 分野 (B02)

尾畑先生

尾畑 伸明 (Obata, Nobuaki)
教授
obata@math.is.

福泉先生

福泉 麗佳 (Fukuizumi, Reika)
准教授
fukuizumi@math.is.

瀬川先生

瀬川 悦生 (Segawa, Etsuo)
准教授 [国際交流推進室兼任]
e-segawa@m.

長谷川先生

中澤 嵩 (Nakazawa, Takashi)
助教 [数学連携推進室兼任]
nakazawa@math.is.

本分野は、(B02-1) 尾畑研究室、(B02-2) 福泉研究室、(B02-3) 瀬川研究室から成り、広く解析学とその応用をカバーしています。

(B02-1) 尾畑研究室では、広く確率論に関連するテーマを取り上げています。身の回りには、様々な理由で生じる偶然の効果のために確定的な予想ができない現象(ランダム現象)があふれています。たとえば、始発時刻は規則的でも到着時刻がまちまちな市バス、ラッシュアワーの人の流れ、過去のデータを知っても予想できない未来の株価、同じ入力に対しても同じ出力が得られない生物の応答、複雑な成長を続けるインターネットなどです。このようなランダム現象をモデル化して、少ない変数を用いて現象の特徴を表現し、解析することが確率論の目的です。

確率論は、16-17世紀の賭け事の数学に起源をもちますが、数学の中では比較的新しい分野です。新しい考え方が次々に生まれ、実にいろいろな分野に応用されてゆくところに興味は尽きません。そのダイナミックな動きに呼応して、本研究室では、異分野研究者との交流(応用数学連携フォーラム)と国際共同研究も積極的に推進しています。確率論の理論、応用に興味のある、好奇心旺盛な積極的な学生諸君の参加を期待しています。

研究テーマは以下のとおりです。さらに詳しい情報は、研究室のウェッブページ をご覧ください。

量子確率論・非可換確率論

A. Hora and N. Obata: Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs, Springer 明出伊 類似, 尾畑 伸明 著: 量子確率論の基礎, 牧野書店

新しい確率論です。古典確率論(伝統的なコルモゴロフ流確率論)が「可換」の世界にあるのに対して「非可換」な世界に展開される確率論です。非可換な世界の代表格は行列でしょう。たとえば、「コイン投げ」が行列によってモデル化されると聞くとびっくりするかもしれませんね。歴史的には量子力学と関係しているので「量子確率論」と呼ばれますが、量子力学とは無関係にどんどん発展しており、この分野を勉強するのにもはや量子力学の知識は不要です。最近では、グラフやネットワークのスペクトル解析に応用され大きく展開しています。ランダム行列や直交多項式との関連も面白いところです。

(参考書)明出伊類似・尾畑伸明:量子確率論の基礎, 牧野書店, 2003
A. Hora and N. Obata: Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs, Springer, 2007

古典確率論・確率過程論

院生の希望によっては、伝統的な確率論・確率過程論や数理統計学の話題もとりあげています。特に、時間とともに変化するランダム現象のモデルである確率過程は、信号解析・集団遺伝・数理ファイナンスなどの幅広い応用からも興味が尽きません。また、長大なシンボル列の情報解析にも関心があります。

無限次元解析・確率解析

N. Obata: White Noise Calculus and Fock Space, LNM 1577, Springer

確率論と解析学が融合した分野で、複雑なランダム現象の数理解析の最前線です。本研究室では、無限変数の微積分学(量子ホワイトノイズ理論)の構築と量子および古典確率微分方程式の解析を中心テーマとして、国際共同研究を推進しています。この段階の研究に進むには、そのテーマに応じて、確率過程論、関数解析、調和解析、超関数論、場の理論などにある程度習熟していることが必要です。

(参考書)N. Obata: White Noise Calculus and Fock Space, LNM 1577, Springer, 1994

院生の研究テーマは、本人の希望に沿う形で相談しながら決めています。したがって、問題意識を高くもち、困難に立ち向かう覇気が求められます。過去5年間の修士論文の題目は次のようなものです。

  • ランダムウォークの推移確率の漸近評価
  • Product Structures of Networks and Their Spectra
  • 2次元しきい値グラフの構造解析
  • グラフ上のコンタクト・プロセスにおける相転移現象
  • マルコフ連鎖の集団遺伝学への応用
  • 確率制御と最適投資選択問題への応用
  • 確率微分方程式と数理ファイナンス
  • 多変量解析による文章の類似性解析

(B02-2) 福泉研究室では、波の伝播(波動現象)について微分方程式の諸手法を駆使した研究教育を行っています。波の伝播する様子を調べるためには、定常波・定在波・進行波などの特殊解の存在や安定性の解析が重要な役割を果たします。これは、波動現象において初期状態に関わらず、時間がたてば同じようなパターンの波が観測できるので、それが上記の波のうち安定なものによって記述されているのではないかという物理的な考え方に基づいています。完全可積分系という代数構造をもつ方程式系では、孤立波の重ね合せと見なせる多重ソリトン解が存在し、それらは逆散乱法で具体的に表現できて、その挙動も詳細に解析されてきました。しかし、可積分系に摂動が加わったより現実に近いモデルをこの手法で解析するのは困難で、方程式の非線形構造を変更しても有効な関数解析的手法が最近注目されています。そこで、完全可積分でない場合に特殊解の安定性を関数解析的手法で解析しようというのがこの研究室の特徴的な研究テーマとなっています。特に、興味をもっている項目は次のようなものです。

確率非線形シュレディンガー方程式

非線型確率シュレディンガー方程式

ノイズによって摂動を受けた非線形シュレディンガー方程式の解の存在、爆発、時間が十分経った後の振舞いを伊藤解析によって調べます。このような方程式はボーズ・アインシュタイン凝縮のモデル等として現れ、物理的にも重要な研究対象です。非線形シュレディンガー方程式については既に国内外で盛んに研究されており、この研究室では、既にある道具に確率要素を組み込んで、ノイズの影響で起こる新しい現象を発見していきます。


定在波・進行波の安定性解析

初期データを定常解の近くにとったときに、そのデータから発展した解は、いつまでも定常解の近くに留まるかどうかを問題とします。留まるとしたら、どのような振舞いをして留まっているのか、留まらないとしたら何が原因なのかを解析します。非線形楕円型方程式に関連する変分的手法や、無限次元ヒルベルト空間上の作用素のスペクトル解析が主要な道具です。

数値解析

上記の課題に対して数学的に厳密な証明をするとき、数値実験をして予想を立てることは有効な手段だと考えています。非線形シュレディンガー方程式と相性の良い安定な数値計算スキームとしては,既にCrank-Nicolson のスキームが知られています。数値解析理論を習得し、実際にMATLABによる計算を実行します。

その他

生態系モデルや数理ファイナンスなど広く応用に関連する確率解析や確率偏微分方程式の研究に興味があります。

大学院受験生へのメッセージ

数学科出身であることは問いませんが、動機をしっかりともった意欲的な学生を希望します。数学科出身者の場合は、数学だけでなく他の分野にも幅広く好奇心をもった、議論好きな学生を大歓迎します。さらに詳しい情報は、研究室のウェブページ もご覧ください。研究内容に関する問い合わせをメールで受け付けています。

(B02-3) 瀬川研究室では、量子ウォーク(QW)と呼ばれるランダムウォーク(RW)の量子的類推の主にユニタリ作用素による時間発展で与えられるモデルをテーマにしています。

QWは2000年頃に量子高速計算を実現する空間構造中の量子探索アルゴリズムにおいて重要な役割を果たすことが知られて以降、多くの研究者によって注目されるようになりました。研究が進んでいくうちに、実はその他にも様々な研究分野、例えば、トポロジカル絶縁体、重分子同位体分離レーザー量子制御工学、散乱理論、グラフゼータ関数、単位円周上の直交多項式、等と数を上げればきりがないほどの色々な分野とのオーヴァーラップが出てくることが分かりました。また近年、QWの実装が報告され、実験物理の研究者によっても盛んにされています。今後もその裾野は拡がり続けていくことが期待されます。

QWは、歴史的に浅く、蓄積が他の分野と比べて少なく、量子性によって、私たちのRWなどの研究によって培われたこれまでの直観と大きく外れることがあります。QWはそういった意味でまだまだ未開の領域で、トライ&エラーによる開拓を必要としている部分が多いのです。したがって、今までの知識を一度どこかにちょっとしまっておいて、まっさらな気持ちで地道に手を動かしていくことがストラテジでした。しかしながら最近になって、大雑把なQWの様相の "あたり" がこれらの様々具体的な計算による状況証拠がそろったこともあり、ある一部分ではありますが掴めつつもあります。そこで本研究では、この未開の「開拓」も行いつつ、並行してこれまで温めておいた数学の知識と知見を駆使して、より抽象的な枠組みの中で、この不思議なQWの全容に迫っていきたいと思います。

量子ウォークの統計的性質

直感と反する挙動を示す代表的な性質として、局在化と線型的拡がりと呼ばれる、相反する二つ性質の共存が挙げられます。これはランダムウォークの中心極限定理に対応するある極限定理によって特徴付けられます。なぜこのような現象が起こるのかをより抽象的な枠組みで考察していきたいと思います。

単位円周上の直交多項式

量子ウォークの時間発展は、CMV行列と呼ばれる単位円周上の直交多項式の五項間漸化式を記述する行列によって表現されることがあります。このよく蓄積された理論を用いて、QWの挙動を明らかにし、逆にQWという物理ダイナミクスからみた新しい理論の構築を試みます。

スペクトル理論

ランダムウォークのスペクトル写像によってQWのスペクトルが記述されるクラスがあります。ランダムウォークのスペクトルの性質がこのスペクトル写像によってQWの挙動などにどう反映するのかなどに興味があります。さらにランダムウォークからは遺伝されない、QW独自の固有空間が存在し、グラフの幾何構造と強い結びつきがあると考えられています。

システム情報数理学 III 分野 (B03)

坂口先生

坂口 茂 (Sakaguchi, Shigeru)
教授
sigersak@m.

浦本先生

浦本 武雄 (Uramoto, Takeo)
プロジェクト特任助教
takeo.uramoto@

本研究室では偏微分方程式の解の幾何学的性質を知ることを主な研究目的としています。偏微分方程式の解は関数ですからその形状や幾何学的性質を知りたいと思うのは自然な欲求です。主な研究テーマは次のようです。

不変な等温面と動かない臨界点

図:常螺旋面

関数のグラフの形状を知るには、まず関数の等位面や臨界点を調べることから始めるのが自然です。特に、熱方程式の解のある等温面(ある臨界点)が不変であるとはその温度が時刻のみに依存すること(動かないこと)を言います。不変な等温面や動かない臨界点の存在は熱伝導体の対称性と深く関係しています。 常螺旋面は3次元ユークリッド空間内の不変な等温面の興味深い例になっています。


拡散と領域の幾何の相互作用

線形および非線形の拡散方程式(熱方程式や多孔質媒質方程式などを含む)を考えます。初期値を零、境界値を1とする初期境界値問題において、解の初期挙動と領域の境界の曲率は深く関係しています。拡散方程式を一般化した放物型方程式も考察します。

線形および非線形楕円型方程式の解の形状

一般に楕円型方程式の解は時間が十分経ったときの定常状態を記述しています。線形および非線形楕円型方程式を考えます。リュービル型定理は超平面をある意味のある制限下での全域解のグラフとして特徴付けます。また、過度境界値問題は球領域、楕円体領域、一般にある対称性をもつ領域を特徴付けます。

逆問題の視点

偏微分方程式は自然現象を記述するモデルによく現れます。逆問題の視点から意味のある方法で幾何学的対象を特徴付けることは興味深い問題です。次の写真は坂口がフィレンツェ大学のマニャニーニ教授との共同研究のためにイタリアに滞在した折に撮られました。噴水のある円形の池の水面に大きな円形波が見えました。

写真:円形波

イタリアの研究者との交流が旧く、次の写真は2011年6月にイタリアのコルトナで開催された第2回伊日研究集会において坂口が第3回伊日研究集会の2013年9月の日本開催をアナウンスしている様子です。

写真:第2回伊日研究集会でアナウンスする坂口先生

大学院受験生へのメッセージ

偏微分方程式の解の定性的理論(解の幾何学的性質等)に興味があり、数学をより深く勉強してみたいと思う学生を歓迎します。学部で学んだ微分積分学および線形代数学の理解の上にさらに進んだ1冊の数学の専門書を読んだ経験があれば十分です。何れにしろ、数学を用いて物事を理解することに興味があり、勉強を持続する意欲があることが最も重要です。


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